মাইনাস ওয়ান বিড়ম্বনা!

।মুজতাহিদ আকোন।

লেকচারার , ব্র্যাক বিশ্ববিদ্যালয়
গ্র্যাজুয়েট রিসার্চ অ্যাসিসট্যান্ট, পেনসেলভিনিয়া স্টেট ইউনিভার্সিটি (যুক্তরাষ্ট্র)
সাবেক সহযোগী সম্পাদক, ব্যাপন কিশোর বিজ্ঞান সাময়িকী

7 কে 3 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত থাকে, বলতে পারো? অনেকেই হয়তো মুচকি হেসে বলবে, এ আর এমন কী! ভাগফল 2 আর ভাগশেষ 1। তোমার উত্তর যথার্থ; কেননা, 7 = 2×3+1। এবার বল দেখি, -7 কে 3 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত? তোমার উত্তর যদি হয় -1 (মাইনাস ওয়ান), তাহলে আরেকটু ভেবে দেখ। সঠিক উত্তর হবে 2।

কি? এতটুকুতেই ভ্রু কুঁচকে গেল? কেন 2-ই হবে তা বুঝতে অসুবিধে হলে লেখাটা শেষ পর্যন্ত পড়তে থাক। আশা করি, কোন এক ফাঁকে কারণটা ঠিক ঠিক খুঁজে পেয়ে যাবে।

উপরের সহজ-সরল অথচ বিদ্ঘুটে ব্যাপারটা দেখার পর মনে হতেই পারে, এর সাথে এই লেখার শিরোনামের কী সম্পর্ক! সম্পর্ক আছে তো বটেই। আমরা যেকোন ধনাত্মক সংখ্যা নিয়ে যত সহজে আর স্বাচ্ছন্দ্য নিয়ে কাজ করতে পারি, ঋণাত্মক সংখ্যা নিয়ে তেমনটা পারি না।

যেমন- উপরের ঘটনাটাই দেখ। 7 কে 3 দ্বারা ভাগ করার সময় কোন গড়বড় না হলেও যখনই 7 কে -1 দিয়ে গুণ করে -7 লেখা হল, তখনই সব কেমন গোলমেলে হয়ে গেল। তাহলে, বোঝা যাচ্ছে, এই সব গোলমালের পিছনে আসল কালপ্রিট হল -1!
-1 কে আমি গোবেচারাদের সংখ্যা বলে ডাকি। এর মানে এই নয় যে, সবসময় সে নিজেই গোবেচারা। এর অর্থ হল, নিজে গোবেচারাদের মত হলেও সে যার সামনেই পড়ে, সে বেচারাকে একেবারে নাস্তানাবুদ করে ছেড়ে দেয়।

ক্লাস থ্রি বা ফোরে পড়া তোমার কোন ছোট ভাই-বোনকে জিজ্ঞেস করে দেখ, 2 থেকে 3 বিয়োগ করলে কত হয়। দেখবে সে লিখবে 3 – 2 = 1। কিন্তু আমি আসলে জানতে চেয়েছিলাম 2 – 3 = কত?, যার উত্তর এতদিনে তোমার জানার কথা; -1! দেখা যাচ্ছে, -1 আট-ন’বছরের সহজ-সরল মনের অধিকারীদেরকেও রেহাই দিচ্ছে না!

এতক্ষণে তোমার কিছুটা বুঝে যাওয়ার কথা, -1 কে দেখতে যতটা সাদাসিধে মনে হয়, আসলে সে মোটেও তেমনটা নয়। বরং অনেকটা জিলাপির প্যাঁচের মত। খেতে মজা লাগলেও এর প্যাঁচ বোঝা বড় দায়। এতদূর পড়ার পরও যদি তুমি ছদ্দবেশী -1 এর ফাঁদ থেকে পার পেয়ে গিয়ে থাকো, তবে তোমাকে অভিনন্দন।

কারণ, প্রায় 1700 সাল পর্যন্ত -1 কে অনেক বড় বড় গণিতবিদরাও অর্থহীন, কিম্ভুতকিমাকার ইত্যাদি বলে উপহাস করেছিল। তুমি কমপক্ষে তাদের থেকে এগিয়ে আছো। তবে খুব বেশি তৃপ্তি পাবারও কিছু নেই। কেননা, -1 আরও চ্যালেঞ্জ নিয়ে তোমার সামনে আসছে খুব শিগগিরই। প্রস্তুত তো?

চল, একটা সাদাসিধে টাইপের সমীকরণ দেখি,

-1= -1……(1)

এটাকে আরেকটু গম্ভীরভাব দেয়ার জন্য একটু পেঁচিয়ে লেখা যাক,

(-1)/1=1/(-1)……(2)

এবার উভয়পক্ষে বর্গমূল করলে পাই,

√((-1)/1)=√(1/(-1))……(3)

বর্গমূলকে বন্টন করে দিয়ে পাই,

√(-1)/1=1/√(-1)……(4)

আড়াআড়ি গুণ করে পাই,

√(-1)×√(-1)=1×1……(5)

যেহেতু,√(-1)×√(-1)= -1, তাই,

-1=1……(6)

ব্যাপারটা কী দাঁড়ালো? আমরা -1 = -1 থেকে শুরু করলাম। কিন্তু শেষে পেলাম। -1 = 1! এটা কীভাবে সম্ভব? নিশ্চয়ই কোথাও ভুল হয়েছে। ভুলটা কোন লাইনে হয়েছে বলতে পারবে? (যারা ভাবছো √(-1) গণিতের ভাষায় অসম্ভব, তারা জেনে রাখো, বিষয়টি এখনকার দিনে আর সত্যি নয়। এ নিয়ে আমরা একটু পর আরও জানবো।)

আবারও বোঝা গেল, -1 এত সহজে আমাদের ছাড়বে না। চল দেখা যাক ভুলটা হল কোথায়। আসলে সমীকরণ (3) থেকে যখন (4) লিখেছি তখনই সমীকরণের ডান পাশে ভুলটা হয়েছে। আমরা চাইলেই, √(1/(-1))=1/√(-1) লিখতে পারি না। মনে রাখবে, √(a/b)=√a/√b কেবল তখনই লেখা যায় যখন b ধনাত্মক।

অর্থাৎ, √(9/(-4))≠√9/√(-4)। যদি সঠিকভাবে লিখতে চাও, তবে তোমাকে লিখতে হবে এভাবে, √(9/(-4))=√((-9)/4)= √(-9)/√4। অর্থাৎ মাইনাস চিহ্নটি লবের মধ্যে দিতে হবে। অতএব, বোঝা যাচ্ছে, শুধু -1 কে বাগে আনার জন্য তোমাকে নতুন করে কিছু নিয়ম রপ্ত করতে হবে!

আশা করি, -1 এর বিড়ম্বনা নিয়ে যাদের মনে সংশয় ছিল, এতক্ষণে তাদের কাছে বিষয়টি মোটামুটি পরিষ্কার হয়েছে। 1700 সাল পর্যন্ত -1 নিয়ে গণিত মহলে বিতর্ক থাকলেও বর্তমানে এর ব্যবহার উল্লেখ করার মত। -1 ই প্রথম ঋণাত্মক পুর্ণসংখ্যা। জ্ঞান-বিজ্ঞানের নানা শাখায় -1 এর বিচরণ অগাধই বলা যায়।

যেমন- শীতপ্রধান দেশে তাপমাত্রা মাপতে গেলে প্রায়শঃই -1 বা এর মত অন্যসব ঋণাত্মক সংখ্যার দেখা মিলবে। রসায়নের বিভিন্ন আয়নের দিকে তাকালেও মেলে এর দেখা। ব্যাংকে লেনদেনের ক্ষেত্রেও এর বিচরণ উল্লেখযোগ্য। ক্রিকেট খেলার রানরেটে একে তুমি প্রায়ই দেখে থাকবে।

কম্পিউটারে ব্যবহৃত ভাষাগুলোতে -1 এর ব্যবহার উল্লেখযোগ্য। এখানেও -1 কে অনেকটা গোবেচারা হিসেবেই ব্যবহার করা হয়। কোন কাজ করতে গিয়ে যদি কোন কম্পিউটার প্রোগ্রাম ব্যর্থ হয়, তবে সে রেজাল্ট দেয় -1। আবার, তোমার কম্পিউটারের কিংবা স্মার্টফোনের মধ্যকার কোন ফাইল পড়তে গিয়ে যদি সে ওই ফাইলের মধ্যে আর কিছু খুঁজে না পায়, তবে সে খুঁজে পাবে -1! 0 আর 1 এর কম্পিউটারের দুনিয়াতেও -1 এর বিচরণ নেহায়েৎ কম নয়।

-1 এর বিচরণক্ষেত্র এখানেই শেষ নয়। বলতে পার, শেষের শুরু হল কেবল। -1 এর আসল কারিশমা এখনও বাকি রয়ে গেছে। কয়েক শতাব্দী আগে বিভিন্ন সময় গবেষণা করতে গিয়ে প্রায়ই বিজ্ঞানীরা একটি বিব্রতকর পরিস্থিতিতে পড়তেন। কাজ করতে গিয়ে তারা মাঝে মাঝে এমন কিছু সমীকরণের সম্মুখীন হতেন যা শেষ পর্যন্ত দাঁড়াতো এমন,

x^2+1=0
⇒x^2= -1
∴x= ±√(-1)

সমস্যা হল, এই -1 এর বর্গমূলের মান ঠিক কত তা কেউ বলতে পরিষ্কারভাবে বলতে পারলেন না। মোটামুটি ধারণা পাওয়া গেল, এরকম কোন সংখ্যা বাস্তবে পাওয়া সম্ভব নয়। এ কারণে অনেকে আবার একে গোলমেলে, তুচ্ছ, গুরুত্বহীন বলে উড়িয়ে দিতেও কুন্ঠাবোধ করেননি।

মজার ব্যাপার হল, এই তুচ্ছ গোলমেলে বিষয়টা একসময় বেশ কাজে দিতে শুরু করল। যেমন- ax^3+bx^2+cx+d=0 ত্রিঘাত সমীকরণের সমাধান করার সময় দেখা গেল, অনেক ক্ষেত্রে ঘুরে-ফিরে √(-1) চলে আসছে।

কিন্তু তুমি যদি একে গুরুত্বহীন বলে উড়িয়ে দাও, তবে সমীকরণের সমাধানে পৌঁছার সৌভাগ্য অনেক সময় তোমার নাও হতে পারে। কিন্তু যদি একে বিবেচনা করে এগিয়ে যাও, তবে দেখবে সঠিক উত্তরটা স্মিত হেসে পৃষ্ঠার শেষ কোণে উঁকি দিচ্ছে।

এরকম অনেক ঝামেলা দূর করতে একে ব্যবহার করা সুবিধাজনক হওয়ায় গণিতবিদরা না একে বাদ দিতে পারছিলেন, না গ্রহণ করতে পারছিলেন। গণিতবিদ রেনে দেকার্ত এরকম সংখ্যাগুলোকে কাল্পনিক সংখ্যা (imaginary number) বলে আখ্যা দিলেন। তখন থেকে একে i দ্বারা প্রকাশ করা শুরু হল। কিন্তু কাল্পনিক বলে কথা, এর দাম কেউ দিতে চাইলো না।

বিখ্যাত গণিতবিদ লিয়নার্দ অয়লার সর্বপ্রথম √(-1)=i কে গুরুত্ব দিয়ে লিখলেন। তিনি জটিল সংখ্যা (complex number) বলে একধরনের সংখ্যার ধারণা দিলেন। যেমন- 3+2√(-1) বা 3+2i একটি জটিল সংখ্যা; এখানে 3 হল বাস্তব অংশ আর 2 হল কাল্পনিক অংশ।

অয়লার সর্বপ্রথম জটিল সংখ্যার মধ্য দিয়ে নতুন এক গণিতের ধারণা দিলেন। সবথেকে মজার ব্যাপারটি বোঝা গেল অনেক পরে যখন জটিলসংখ্যার জ্যামিতিক ব্যাখ্যা উন্মোচিত হল।

চিত্র- ১

প্রকৃতির যেকোন সংখ্যাকে চাইলে আমরা একটি রেখার মধ্যে দেখাতে পারি, যার নাম সংখ্যারেখা। চিত্র-১ এ একটি সংখ্যারেখা দেখানো হয়েছে। সংখ্যারেখার বাম থেকে ডানদিকে ক্রমান্বয়ে ছোট থেকে বড় এভাবে সংখ্যাগুলো সাজানো হয়। মাঝে থাকে 0। এর ডানে থাকে ধ্বনাত্মক সংখ্যা আর বামে থাকে ঋণাত্মক সংখ্যা।

চিত্রে শুধু -1 (B বিন্দু), 0 ও 1 (A বিন্দু) এর অবস্থান দেখানো হয়েছে। লক্ষ কর, 1 কে -1 দ্বারা গুণ করলে আমরা পাই 1×(-1)=-1 এবং এর ফলে A বিন্দুটি 180° ঘুরে B বিন্দুতে চলে আসে। আবার, যদি -1 কে -1 দিয়ে গুণ করা হয় তবে -1,B বিন্দু থেকে পুনরায় 180° ঘুরে A বিন্দুতে ফিরে আসে।

অর্থাৎ, -1 এমন একটি সংখ্যা যা দ্বারা কোন সংখ্যাকে গুণ করলে সেটি প্রতিবার 180° ঘুরে যায়। যেহেতু সকল ধ্বনাত্মক, ঋনাত্মক ও শূন্যকে দেখানোর জন্য কেবল একটি সরলরেখার প্রয়োজন হয়, তাই একে একমাত্রিক সংখ্যারেখাও বলা যায়।

এ ব্যবস্থায় আমরা দেখলাম, ডান পাশের 1 (A) থেকে শুরু করে একে পর পর দুইবার -1 দ্বারা গুণ করে আবার 1 পাওয়া যাচ্ছে। এর ফলে সর্বমোট 180°+180°=360° কোণ পরিবর্তন হচ্ছে। অর্থাৎ,

1×(-1)×(-1)=1

কিন্তু সংখ্যা কি দ্বিমাত্রিক হতে পারে না? এমন কিছু কি সম্ভব নয়, যা দিয়ে 1 কে গুণ করলে 90° কোণের পরিবর্তন হবে? (চিত্র-২ দ্রষ্টব্য) ধরি, এমন সংখ্যাটি x। তাহলে, 1×x,90° কোণের পরিবর্তন ঘটাবে। একইভাবে, 1×x×x সর্বমোট 180° কোণের পরিবর্তন ঘটাবে।

কিন্তু আমরা একটু আগেই দেখেছি, 1 কে -1 দ্বারা গুণ করলে 180° কোণের পরিবর্তন ঘটে। তাহলে শর্তানুসারে আমরা লিখতে পারি,

1×x×x=1×(-1)
x^2= -1
∴x= ±√(-1)= ±i

চিত্র- ২

দেখা যাচ্ছে, 90° ঘুরানোর জন্য যে সংখ্যা দিয়ে গুণ করতে হবে তা এই অদ্ভুতুড়ে, অপয়া কিংবা গোবেচারা যাই বলা হোক না কেন, √(-1) =i ছাড়া আর কিছুই নয়! (এখানে +i ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে কোণের ঘূর্ণন নির্দেশ করে, আর -i ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘূর্ণন নির্দেশ করে।)

এভাবেই দ্বিমাত্রিক সংখ্যাপদ্ধতির অবতারণার মাধ্যমে কাল্পনিক সংখ্যার দ্যুতি চারদিকে ছড়িয়ে গেল। এক সময় যেটি গণিতবিদদের শত অবজ্ঞার পাত্র ছিল, তা গণিতের দুনিয়ায় নতুন শাখার সৃষ্টি করলো।

অয়লার 1748 সালে গণিতের সবথেকে সুন্দর সমীকরণের একটি তার এক গবেষণাপত্রে প্রকাশ করলেন যা অয়লারের আইডেন্টিটি নামে পরিচিত। e^iπ= -1। এটি এমন একটি অনন্য সমীকরণ যেখানে গণিতের সব থেকে গুরুত্বপূর্ণ প্রায় সব ধ্রুবক আর সংখ্যার সমন্বয় ঘটেছে। বলা বাহুল্য, এর মধ্যে ছড়িয়ে আছে গোবেচারাদের ভয়াল -1 এর অসংখ্য বিড়ম্বনা কীর্তির সমাহার!

-1 এর কীর্তি নিয়ে আরও অনেক কিছুই বাকি রয়ে গেল। সেগুলো না হয় তোমাদের অনুসন্ধানের জন্য রইল। লেখার একেবারে শুরুতে উল্লেখ করা ভাগশেষ বিষয়ক সমস্যাটি নিয়ে একটু চিন্তা করা যাক। -7 কে 3 দ্বারা ভাগ করার প্রধান সমস্যা হল- সংখ্যার ছোট-বড় বুঝতে সমস্যা হওয়া। 7 কে 3 দ্বারা ভাগ করার সময় আমরা যা করি তা নিচে দেখানো হল-

3) 7 (2
– 6
_____________
  1

এখানে আমরা 7 থেকে 6 বিয়োগ করছি কেননা, 7 এর থেকে 6 সামান্য ছোট। অর্থাৎ, যে সংখ্যাটি বাদ দেয়া হবে (এখানে 6), তা অবশ্যই যা থেকে বিয়োগ করা হচ্ছে (এখানে 7), তার থেকে কম হতে হবে যেন বিয়োগফল সর্বদা ধ্বনাত্মক অথবা শূন্য হয়।
এবার -7 কে 3 দ্বারা ভাগ করলে কী হয় তা দেখা যাকঃ

3) -7 (-2
(+) -6       
___________
-1 

এভাবে বিয়োগ করার সময় লক্ষ কর, -7 থেকে যেহেতু -6 বিয়োগ করা হয়েছে সেক্ষেত্রে, -7>-6 হওয়া উচিত ছিল। কিন্তু আমরা জানি, ঋণাত্মক সংখ্যার ক্ষেত্রে এদের উল্টোটা সত্যি অর্থাৎ, -7<-6। তাই এভাবে বিয়োগ করা যাবে না। সঠিক রূপটি নিচে দেয়া হলঃ

3) -7 (-3
(+) -9       
________
2

একারণেই ভাগফল হবে -3 আর ভাগশেষ 2। মনে রাখবে, ভাগ করার সময় ভাগশেষ হতে হবে সর্বদা ধ্বনাত্মক পূর্ণসংখ্যা কিংবা 0। এতটুকু মনে রাখলেই চলবে। কেন এরকম একটি নিয়ম করা হল, তা কি ভেবে দেখেছো?

কারণটি খুঁজে পাওয়া খুব কঠিন কোন কাজ নয়। তাই নিজে বুদ্ধি খাটিয়ে বের করার করার চেষ্টা কর। প্রয়োজনে গুগল মামার সাহায্য নিতে পারো।

-1 এর বিড়ম্বনা নিয়ে তো অনেক জলঘোলা করা হল। পরিশেষে -1 এর আরেকটি বিড়ম্বনা তোমাদের চিন্তার জন্য এখানে উল্লেখ করা যাক। নিচের ব্যাপারটা খেয়াল করঃ

1=√((-1)^2 )=√((-1)×(-1))=√(-1 )×√(-1)=(√(-1))^2= -1

আবারও সেই 1 = -1 এসে পড়েছে! অর্থাৎ এই এক লাইনের মাঝেও কোথাও কোন না কোন ভুল করে ফেলেছি। অভিনব এই বিড়ম্বনা থেকে রক্ষা পাওয়ার কোন উপায় বের করতে পারো কি না, তা নিয়ে ভাবতে লেগে যাও এখনই।

উপায় বের করতে পারলে তোমার প্রিয় ব্যাপন পরিবারকে জানাতে ভুলো না। আর কোন উপায় না পেলেও সমস্যা নেই। কেননা আমরা জানি উত্তর খুঁজে পাওয়া বড় কথা নয়, শুদ্ধ চিন্তার চর্চাই প্রকৃত সফলতা।

আমাদের সবার জীবন -1 এর মত বিড়ম্বনা থেকে মুক্ত থাকুক, এই কামনায় আজকের মত শেষ করছি। হ্যাপি থিংকিং।

মে-জুন ২০১৮।বর্ষ ৪। সংখ্যা ১

ব্লাড গ্রুপিং বৃত্তান্ত

ব্ল্যাক বক্স কীভাবে কাজ করে?

সুপার হাইওয়ে

পিথাগোরাসের ত্রয়ী

রোজার উপকারিতা

মহাকাশে কৃত্রিম উপগ্রহ

উইন্ড টারবাইনের গল্প

মস্তিষ্ক দখল

জার্নি টু দ্য বারমুডা ট্রায়াঙ্গল

জার্নি টু দ্য বারমুডা ট্রায়াঙ্গল

বিপজ্জনক ভাইরাসেরা

 

ছোট ম্যাজেলানিক ক্লাউড

 

চিনে রাখি অসুখগুলি

মহাশূন্যে বসবাস